(#428) TEORÍA DE PROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADÍSTICA SEGÚN ARIS SPANOS (IIc)

[MONOTEMA] Seguimos con la tercera parte del segundo capítulo de: Probability Theory and Statistical Inference, de Aris Spanos. Tras explicar la estructura básica de un modelo estadístico simple, y lo que es una muestra aleatoria, continuamos avanzando en el desarrollo de conceptos fundamentales.

Experimento aleatorio

Un experimento aleatorio  se define como el mecanismo de incertidumbre que satisface las siguientes condiciones:

a) Todos los posibles distintos resultados son conocidos a priori.

b) En cualquier ensayo el resultado no se conoce a priori, pero existe una discernible regularidad de ocurrencia asociada con esos resultados.

c) Puede ser repetido en idénticas condiciones.

Sobre esta definición vemos que, por ejemplo, cualquier dato que obtengamos de un jugador de baloncesto no es un experimento aleatorio, porque falla en la condición c), es decir, no puede ser repetido en idénticas condiciones, como cuando tiramos una moneda o lanzar un dado. Cuando contamos con los llamados “datos observacionales”, no tenemos un experimento aleatorio, pero eso no indica que no se pueda proponer un modelo estadístico. La distinción con un experimento aleatorio es, sin embargo, preceptiva.

Evento

Un evento es una afirmación en relación a un experimento aleatorio por la cual lo único que importa es su valor de ocurrencia, es decir, si en un particular ensayo ha ocurrido o no. En general, los eventos se forman combinando resultados elementales. Por ejemplo, al tirar 2 monedas el conjunto de resultados es:

donde H es una cara y T es una cruz.

Un evento A podría ser, por ejemplo, obtener al menos una cara:

Como puede apreciarse, un evento es un subconjunto del conjunto de resultados posibles del experimento.

Field

Definimos como “field” (campo) – seguiremos empleando por conveniencia el vocablo inglés-, a una colección  de subconjuntos de S, cuando se satisfacen las siguientes condiciones:

(i)

(ii) Si

(iii) Si  

Esto indica que el campo no está vacío y que es un conjunto cerrado bajo complementación, unión e intersección finitas. Es decir, si A, B son eventos, cualquier evento que surja de la combinación de ambos será un elemento del mismo espacio.

σ-field

Una colección  de subconjuntos de S es un σ-field si satisface:

(i)

(ii) Si

(iii) Si  

Que es una generalización de la definición anterior de campo. Cuando un σ-field se define en la recta real se llama un σ-field de Borel.

En consecuencia, hemos definido un espacio de eventos, un concepto fundamental dentro del hilo conductor del desarrollo de Spanos.

Concepto de función

Una función es una relación entre los conjuntos A y B, que satisface la restricción de que para cada  existe un único elemento  tal que . Los conjuntos A y B son, respectivamente, el dominio y el co-dominio de la función .

El conjunto es el grafo de la función.

Una relación R entre los conjuntos A y B es cualquier subconjunto del producto cartesiano , donde es el conjunto de todos los pares ordenados .

Recordemos que Spanos definía una variable aleatoria como una función entre un conjunto de todos los posibles resultados y un conjunto de números de la recta real.

Noción matemática de probabilidad

Es una función  del espacio de eventos hacia números reales entre 0 y 1.

si se satisfacen los siguientes axiomas:

[1]

[2] 

[3] 

Espacio probabilístico

Un espacio probabilístico es el compendio de donde e sun conjunto de resultados, e sun espacio de eventos asociados a , y es una función de probabilidad que cumple los axiomas [1]-[3].

Espacio muestral

Un espacio muestral  es una secuencia de n ensayos denotados por  donde  representa el iésimo ensayo del experimento asociado con el espacio de probabilidad producto .

Al conjunto se le llama espacio estadístico simple, un caso particular del más general especio estadístico .

Este esfuerzo inicial por definir conceptos esenciales, nos ayudará a entender mejor  el Capítulo III.

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