Uno de los objetivos de los primeros días de clase en mis asignaturas de toma de decisiones en marketing es que los alumnos entiendan la dificultad de los escenarios no lineales, tan característicos de la gran mayoría de fenómenos que se dan en la realidad. En general, los humanos tenemos muchos problemas para manejar nuestro pensamiento en este tipo de escenarios, por eso los estudiantes deben poner especial énfasis en comprenderlos.
En este artículo vamos a realizar varias simulaciones relacionadas con la desgracia que nos ha tocado vivir, el coronavirus que provoca la COVID-19, para mostrar con fines meramente didácticos la importancia de aplicar las herramientas del pensamiento y análisis no lineal. Es importante resaltar que el ejemplo que vamos a comentar es simplemente eso, un ejemplo, y que no tiene la entidad de un estudio científico, ya que es demasiado simple e incompleto. Sin embargo, ofrece unos resultados que, al menos, estimulan el pensamiento crítico.
Infectados en España
En la siguiente figura se muestran los infectados en España hasta el 26 de marzo, intervalo de tiempo donde el crecimiento era exponencial .
Como se puede ver, podemos ajustar la curva a través de un polinomio de orden 3 donde y representa la población de infectados y t el tiempo en días. Sin embargo, en aras de facilitar nuestro razonamiento y el análisis posterior, podemos realizar una aproximación más burda a la curva usando el siguiente razonamiento:
Lo que nos dice la expresión anterior es que el cambio temporal en el número infectados es proporcional a la población que hay en el momento anterior al diferencial de tiempo, con un factor de 33.55%. Esto es algo que se aproxima bastantea la realidad, ya que en esos primeros 33 días el crecimiento del número de infectados estaba en torno al 42% en promedio.
No nos debemos preocupar demasiado por perder algo de exactitud porque los datos tampoco son perfectos, y hay retrasos en los reportes y otros factores que afectan. Por ejemplo, entre los días 12 y 13 el crecimiento fue solo del 6%, mientras que entre los días 14 y 15 fue del 91%.
Si discretizamos el tiempo, la expresión anterior es equivalente a esta (para cambios en t muy pequeños):
Es decir:
No obstante, seguiremos manteniendo el enfoque de continuidad para los análisis. De este modo, hay que resolverla ecuación diferencial para conocer la trayectoria del número de infectados. Resolviendo esa ecuación diferencial (ver este post como ayuda), obtenemos que:
El número de personas infectadas el día 33 era de 64059, mientras que la aproximación exponencial nos reporta una cifra de 64312.
Mascarillas
Durante muchas semanas, tanto la OMS como algunos responsables gubernamentales no consideraron pertinente recomendar el uso de mascarillas, desoyendo las indicaciones de científicos como, por ejemplo, Eric Feigl-Ding.
Las mascarillas no son perfectas, no proveen una protección total, pero incluso las más sencillas pueden tener porcentajes de efectividad en la contención. Si estipulamos un rango de efectividad entre el 0 ya el 100%, entonces si el 100% de la población no lleva habitualmente mascarilla (aquí se excluye obviamente el personal sanitario en el trato de enfermos), su protección es del 0%.
De este modo, podemos simular varios escenarios en los cuales se pasa de que nadie lleve mascarilla, a que diferentes porcentajes de la población las lleven (10%, 20% y 30%, respectivamente). Para aquellos que llevan mascarilla hemos estipulado dos niveles de protección (20% y 50%), en función del tipo de mascarilla y su comportamiento de riesgo. Los datos se muestran en la siguiente figura.
El siguiente paso ahora es modificar la ecuación diferencial para tener en cuenta una nueva variables que considere el uso de mascarillas.
donde es el valor promedio que describe el uso de mascarillas y el riesgo asociado a ellas.
donde es la frecuencia relativa de personas que llevan mascarilla normalizada en la escala [0,1], lo que quiere decir que si el 100% no lleva mascarilla le correspondería un 1. Por su parte,
es el nivel de protección de cada mascarilla, también normalizado en una escala [0,1].
Hay que tener cuidado en este punto, porque ahora la ecuación de la trayectoria es una exponencial modificada con la nueva especificación:
De este modo si el 100% de personas no lleva mascarilla:
que es nuestra ecuación anterior de partida.
Y si el 100% de personas llevara mascarilla con un nivel de protección del 100% (algo imposible), entonces:
con lo que el número de infectados sería constante, es decir, no habría nuevos infectados.
Primer análisis de escenarios
Podemos comenzar un primer análisis con los 4 escenarios descritos en la figura que representa la distribución de las mascarillas. El primero de ellos, donde el 100% no las lleva (excepto el personal sanitario), ya lo tenemos. El objetivo es ahora estimar el número de infectados cuando una parte pequeña de la población lleva mascarilla. Los resultados se muestran a continuación.
Como se puede apreciar, pequeños cambios en la distribución de uso de mascarillas producen enormes cambios en el número de infectados. Fijémonos en el escenario en que 90% no lleva mascarilla, un 5% lleva mascarillas que protegen un 20%, y un 5% lleva mascarillas que protegen un 50%. Tan sólo ese pequeño cambio produce un descenso del 37.8% en el número de infectados pasando a ser 40018. El descenso es del 75% en el último escenario, en el que el 70% de la gente sigue sin llevar mascarillas, pero el 15% lleva mascarillas de protección 20% y el 15% restante lleva mascarillas de protección 50%.
Riesgo simétrico
Hasta ahora hemos asumido que el riesgo de contagiarse o contagiar es constante para cada nivel de protección. Sin embargo, esta situación puede no ser correcta.
Imaginemos que el 100% de la población lleva mascarillas que protegen el 50%, entonces:
Pero ahora imaginemos que el 50% no lleva mascarilla y el otro 50% lleva mascarillas con la máxima protección (100%), entonces:
El valor promedio es el mismo cuando la situación en cuanto a contagios podría ser muy diferente. Otras formas de riesgo simétrico podrían ser no lineales, por ejemplo, en modo de U-invertida. Así, esa función no lineal actuaría como una función de pesos para ponderar:
Como función de pesos podemos proponer la siguiente:
que da el máximo peso a los casos extremos, es decir, la máxima influencia sobre los contagios se produce cuando ninguno lleva mascarilla o cuando todos la llevan.
Dejamos como ejercicio para los estudiantes más curiosos el calcular ahora la trayectoria ante los 4 escenarios propuestos.
Riesgo asimétrico
El desafío ahora es concebir que el riesgo es asimétrico, una función convexa en forma de J que otorgue mayor peso a los casos en los que la protección es mayor a partir de cierto umbral. Podemos proponer la siguiente función:
Y ahora podemos a volver a realizar el análisis de escenarios, obteniendo que para el caso del escenario 2 (10% usan mascarilla), los infectados se habrían reducido un 23.4%; para el escenario 3 (20% usan mascarilla), los infectados se habrían reducido un 40.3%; y para el escenario 4 (30% usan mascarilla), lo infectados se habrían reducido un 53.5%.
Evidentemente, podemos simular un escenario que reflejara mucho más el compromiso de gobernantes y ciudadanos con el uso de mascarillas, haciendo que el 50% llevara mascarilla con una protección del 50%. Esto habría reducido los infectados un 83%.
Conclusión
Este artículo tiene que interpretarse como un mero ejercicio con fines de didácticos para estudiantes universitarios, y nunca como un estudio científico cuyas conclusiones sean robustas, ya que lo que se plantea es una gran simplificación de la situación, y se dejan muchas variables fuera.
La idea es hacer ver a los estudiantes que cuando se manejan ecuaciones no lineales nuestra mente tiene dificultades en inferir qué va a suceder, a no ser que nos ayudemos de herramientas matemáticas.
Lo que hemos visto es que incluso con pequeñas acciones como el incremento débil del uso de mascarillas justo cuando aparecieron los primeros casos, se podría haber reducido considerablemente el número de infectados, siempre dentro de las aproximaciones y asunciones que hemos realizado.
Sin embargo, insistimos en que lo importante de este artículo es motivar a los estudiantes a que profundicen en las dinámicas no lineales de los fenómenos que nos rodean, y cómo las asimetrías pueden afectar a los resultados.