TEORÍA DE PROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADÍSTICA SEGÚN ARIS SPANOS (IIIb)

Publicada el 29 de diciembre de 202325 de marzo de 2025 por martinezjose

Avanzamos en el tercer capítulo de Probability Theory and Statistical Inference, de Aris Spanos, dando una noción general de variable aleatoria:

$X(.):S\rightarrow \mathbb{R}_{X}, \left \{ s:X(s)=x) \right \}:=X^{-1}(x)\in \Im, x\in \mathbb{R}$

La variable aleatoria simple es un caso particular contenido en esta definición general. El espacio de eventos discreto está contenido en este continuo.

Spanos define la pre-imagen $X^{-1}(.)$ de la variable aleatoria $X(.)$ como una función que mapea números reales en el espacio de eventos: $X^{-1}(.):\mathbb{R}\rightarrow \Im$

De este modo, si $X(.):S\rightarrow \mathbb{R}_{X}$ , entonces:

$x\in \mathbb{R}_{X}, X^{-1}(x) \in \Im$

$x\notin \mathbb{R}_{X}, X^{-1}(x)=\varnothing \in \Im$

En la definición general de variable aleatoria:

$X^{-1}((-\infty ,x])\in\Im$ $x\in \mathbb{R}$

El conjunto de todos esos intervalos es un Borel-field $\mathbb{B}(\mathbb{R})$ :

$\mathbb{B}(\mathbb{R})=\sigma ((-\inftyx],x\in\mathbb{R})$

De este modo:

$X^{-1}(.):\mathbb{B}(\mathbb{R})\rightarrow \Im$

Y así Spanos realiza una metamorfosis del espacio probabilístico gracias a la función variable aleatoria:

$\left ( S,\Im,\mathbb{P(.)} \right )\overset{X(.)}{\rightarrow}(\mathbb{R},\mathbb{B}(\mathbb{R}),P_{x}(.))$

que es el espacio inducido por la variable aleatoria.

Category: METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN