TEORÍA DE PROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADÍSTICA SEGÚN ARIS SPANOS (IIIe)

Avanzamos con el quinto apartado del tercer capítulo de Probability Theory and Statistical Inference, de Aris Spanos.

Parámetros y momentos

Además del histograma de la distribución de datos observados, también disponemos de ciertos números que caracterizan la distribución como la media o la varianza. Esos valores numéricos están relacionados con los momentos de la distribución, que son esperanzas matemáticas de ciertas funciones de la variable aleatoria $X$ , genéricamente denotadas por $h(X)$ .

$E[h(X)]=\int_{-\infty }^{\infty }h(x)f_{x}(x;\theta)dx=g(\theta)$

Si escogemos diferentes funciones $g(\theta)$ obtendremos diferentes momentos de la distribución. Por ejemplo:

Media $\mu$

$h(X)=X, x \in \mathbb{R}_{X}$

Para variables continuas:

$\mu =E[h(X)]=E(X)=\int_{-\infty }^{\infty }xf_{x}(x;\theta)dx$

Para variables discretas:

$\mu =E(X)=\sum_{x_{i}\in\mathbb{R}_{X}}x_{i}f_{x}(x_{i};\theta)$

Varianza $\sigma^{2}$

$h(X)=[X-E(X)]^{2}, x \in \mathbb{R}_{X}$

$\sigma^{2}=h(X)=[X-E(X)]^{2}=\int_{-\infty }^{\infty }[x-\mu]^{2}f_{x}(x;\theta)dx$

Una forma conveniente de calcular los momentos de una distribución es a través de la función generatriz de momentos (mgf), donde $h(X)=e^{tX}$

$m_{X}(t)=E(e^{tX})=\int_{-\infty }^{\infty }e^{tX}f(x)dx, t\in(-h,h),h>0$

Para variables aleatorias discretas las integrales se vuelven sumatorios.

Por ejemplo, para una variable aleatoria X que sigue una distribución de Poisson:

$m_{X}(t)=E(e^{tX})=\sum_{r=0}^{\infty }e^{tX}f(x)dx$

Dado que: $f_{x}=\frac{e^{-\theta}\theta^{r}}{r!}$

Entonces:

$m_{X}(t)=E(e^{tX})=\sum_{r=0}^{\infty }e^{tX}\left [ \frac{e^{-\theta}\theta^{r}}{r!}dx \right ]=e^{-\theta}\sum_{r=0}^{\infty }\frac{(e^{t}e^{\theta})^{r}}{r!}=e^{\theta(e^{t}-1)}$

A partir de los momentos de la distribución se puede estudiar la asimetría y el apuntamiento. De este modo, podemos caracterizar la forma de la distribución a partir de los momentos.

Category: METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN